Question

已知點(diǎn)P是直線（＞0，）上一定點(diǎn)，點(diǎn)A 是軸上一動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），連結(jié)PA，過(guò)點(diǎn)P 作PB⊥PA，交軸于點(diǎn)B，探究線段PA與PB 的數(shù)量關(guān)系.

1.如圖（1），當(dāng)PA⊥軸時(shí)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系是__________；

2.當(dāng)PA與軸不垂直時(shí)，在圖（2）中畫出圖形，線段PA與PB 的數(shù)量關(guān)系是否與（Ⅰ）所得結(jié)果相同？寫出你的猜想并加以證明；

3.為何值時(shí)，線段PA=PB？此時(shí)∠POA的度數(shù)是多少，為什么？

 

Answer 1

【答案】

 

1.PA=PB.                                           ……2分

2.如圖2，過(guò)P 作PC⊥軸于C，PD⊥軸于D，設(shè)P（，）.

∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，

∴∠APC=∠BPD.∴Rt△APC∽R(shí)t△BPD.                  ……4分

∴.∴.∴PA=PB.               ……6分

3.當(dāng)=1時(shí)，PA=PB，此時(shí)∠POA=45°或∠POA=135°. ……8分

這是因?yàn)?由（Ⅱ）得PA=PB，所以當(dāng)=1時(shí)，PA=PB.

此時(shí)Rt△APC≌Rt△BPD，∴PC=PD，

即點(diǎn)P到軸、軸的距離相等，所以直線（=1）平分一、三象限的夾角.

∴∠POA=45°或∠POA=135°（如圖3）.                  ……10分

【解析】(I)根據(jù)OAPB是矩形從而得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，并把它代入到正比例函數(shù)中得出結(jié)論；

（II）過(guò)P點(diǎn)作PC⊥軸于C，PD⊥軸于D，證明出Rt△APC∽R(shí)t△BPD.從而得出，即PA=PB；

（III）如果PA=PB，即k=1，那么分A點(diǎn)在x軸正負(fù)半軸兩種情況得出∠POA的度數(shù)。