Question

7．情景再現(xiàn)
通過(guò)“活動(dòng) 思考”一節(jié)的學(xué)習(xí)，小紅知道了：把一張長(zhǎng)方形紙片按下圖要求折疊、裁剪、展開(kāi)，可以得到由長(zhǎng)方形裁剪出的一個(gè)最大正方形．
操作探究
聰明的小紅在學(xué)習(xí)了這一個(gè)知識(shí)后給出了一個(gè)“可裁長(zhǎng)方形”的定義：當(dāng)相鄰兩邊長(zhǎng)分別為1，a（a＞1）的長(zhǎng)方形通過(guò)上述方法裁剪掉一個(gè)最大的正方形后，再在剩下的部分裁剪出一個(gè)最大的正方形，如此反復(fù)，最后剩下的部分也是一個(gè)正方形，像這樣一類長(zhǎng)方形稱為可裁長(zhǎng)方形．并進(jìn)行了以下探索：
（1）當(dāng)一個(gè)可裁長(zhǎng)方形只經(jīng)過(guò)一次裁剪就可以得到全部正方形，則a的值為2；
（2）當(dāng)一個(gè)可裁長(zhǎng)方形只經(jīng)過(guò)兩次裁剪就可以得到全部正方形，則所有符合條件的a的值為1.5或3；
（3）當(dāng)一個(gè)可裁長(zhǎng)方形只經(jīng)過(guò)三次裁剪就可以得到全部正方形，畫(huà)出所有符合條件可裁長(zhǎng)方形，標(biāo)注出裁剪線，并在對(duì)應(yīng)的圖形下方寫(xiě)出a的值．
方法遷移
取一個(gè)自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1；若它是偶數(shù)，則除以2，按此規(guī)則經(jīng)過(guò)若干步的計(jì)算最終可得到1．這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒(méi)有得到證明．但舉例驗(yàn)證都是正確的．例如：取自然數(shù)5．最少經(jīng)過(guò)下面5步運(yùn)算可得1，
即：5$\stackrel{×3+1}{→}$16$\stackrel{÷2}{→}$8$\stackrel{÷2}{→}$4$\stackrel{÷2}{→}$2$\stackrel{÷2}{→}$1，
（1）自然數(shù)12最少經(jīng)過(guò)9步運(yùn)算可得到1
（2）如果自然數(shù)m最少經(jīng)過(guò)7步運(yùn)算可得到1，則所有符合條件的m的值為128、21、20、3．

Answer 1

分析 操作探究（1）根據(jù)操作的方法可得a=2；
（2）當(dāng)一個(gè)可裁長(zhǎng)方形只經(jīng)過(guò)兩次裁剪就可以得到全部正方形，則所有符合條件的a的值為3個(gè)1或1為2個(gè)（a-1）；
（3）結(jié)合（1）、（2）題作出圖形；
方法遷移（1）利用列舉法，嘗試最小的幾個(gè)非0自然數(shù)，再結(jié)合“自然數(shù)5．最少經(jīng)過(guò)5步運(yùn)算可得1”，即可得出結(jié)論；
（2）首先根據(jù)題意，應(yīng)用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分類討論，判斷出所有符合條件的m的值為多少即可．

解答 解：操作探究：
（1）當(dāng)一個(gè)可裁長(zhǎng)方形只經(jīng)過(guò)一次裁剪就可以得到全部正方形，則a的值為2個(gè)1，
故答案為：2；
（2）當(dāng)一個(gè)可裁長(zhǎng)方形只經(jīng)過(guò)兩次裁剪就可以得到全部正方形，則所有符合條件的a的值為3個(gè)1或1為2個(gè)（a-1），
故答案為：1.5或3；
（3）當(dāng)一個(gè)可裁長(zhǎng)方形只經(jīng)過(guò)三次裁剪就可以得到全部正方形，畫(huà)出符合條件可裁長(zhǎng)方形如圖：

方法遷移：
（1）12$\stackrel{÷2}{→}$6$\stackrel{÷2}{→}$3$\stackrel{×3+1}{→}$10$\stackrel{÷2}{→}$5$\stackrel{×3+1}{→}$16$\stackrel{÷2}{→}$8$\stackrel{÷2}{→}$4$\stackrel{÷2}{→}$2$\stackrel{÷2}{→}$1，
自然數(shù)12最少經(jīng)過(guò)9步運(yùn)算可得到1，
故答案為：9；
（2）根據(jù)分析，可得

則所有符合條件的m的值為：128、21、20、3．
故答案為：128、21、20、3．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問(wèn)題，考查了逆推法的應(yīng)用，注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律．
（2）此題還考查了推理和論證問(wèn)題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā)，運(yùn)用邏輯證明或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得出特殊事實(shí)應(yīng)遵循的規(guī)律，即從一般到特殊．②歸納推理就是從許多個(gè)別的事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論，即從特殊到一般．