Question

7．情景再現(xiàn)
通過“活動 思考”一節(jié)的學習，小紅知道了：把一張長方形紙片按下圖要求折疊、裁剪、展開，可以得到由長方形裁剪出的一個最大正方形．
操作探究
聰明的小紅在學習了這一個知識后給出了一個“可裁長方形”的定義：當相鄰兩邊長分別為1，a（a＞1）的長方形通過上述方法裁剪掉一個最大的正方形后，再在剩下的部分裁剪出一個最大的正方形，如此反復，最后剩下的部分也是一個正方形，像這樣一類長方形稱為可裁長方形．并進行了以下探索：
（1）當一個可裁長方形只經(jīng)過一次裁剪就可以得到全部正方形，則a的值為2；
（2）當一個可裁長方形只經(jīng)過兩次裁剪就可以得到全部正方形，則所有符合條件的a的值為1.5或3；
（3）當一個可裁長方形只經(jīng)過三次裁剪就可以得到全部正方形，畫出所有符合條件可裁長方形，標注出裁剪線，并在對應的圖形下方寫出a的值．
方法遷移
取一個自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1；若它是偶數(shù)，則除以2，按此規(guī)則經(jīng)過若干步的計算最終可得到1．這個結(jié)論在數(shù)學上還沒有得到證明．但舉例驗證都是正確的．例如：取自然數(shù)5．最少經(jīng)過下面5步運算可得1，
即：5$\stackrel{×3+1}{→}$16$\stackrel{÷2}{→}$8$\stackrel{÷2}{→}$4$\stackrel{÷2}{→}$2$\stackrel{÷2}{→}$1，
（1）自然數(shù)12最少經(jīng)過9步運算可得到1
（2）如果自然數(shù)m最少經(jīng)過7步運算可得到1，則所有符合條件的m的值為128、21、20、3．

Answer 1

分析 操作探究（1）根據(jù)操作的方法可得a=2；
（2）當一個可裁長方形只經(jīng)過兩次裁剪就可以得到全部正方形，則所有符合條件的a的值為3個1或1為2個（a-1）；
（3）結(jié)合（1）、（2）題作出圖形；
方法遷移（1）利用列舉法，嘗試最小的幾個非0自然數(shù)，再結(jié)合“自然數(shù)5．最少經(jīng)過5步運算可得1”，即可得出結(jié)論；
（2）首先根據(jù)題意，應用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分類討論，判斷出所有符合條件的m的值為多少即可．

解答 解：操作探究：
（1）當一個可裁長方形只經(jīng)過一次裁剪就可以得到全部正方形，則a的值為2個1，
故答案為：2；
（2）當一個可裁長方形只經(jīng)過兩次裁剪就可以得到全部正方形，則所有符合條件的a的值為3個1或1為2個（a-1），
故答案為：1.5或3；
（3）當一個可裁長方形只經(jīng)過三次裁剪就可以得到全部正方形，畫出符合條件可裁長方形如圖：

方法遷移：
（1）12$\stackrel{÷2}{→}$6$\stackrel{÷2}{→}$3$\stackrel{×3+1}{→}$10$\stackrel{÷2}{→}$5$\stackrel{×3+1}{→}$16$\stackrel{÷2}{→}$8$\stackrel{÷2}{→}$4$\stackrel{÷2}{→}$2$\stackrel{÷2}{→}$1，
自然數(shù)12最少經(jīng)過9步運算可得到1，
故答案為：9；
（2）根據(jù)分析，可得

則所有符合條件的m的值為：128、21、20、3．
故答案為：128、21、20、3．

點評 （1）此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，考查了逆推法的應用，注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確的應用規(guī)律．
（2）此題還考查了推理和論證問題，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā)，運用邏輯證明或數(shù)學運算，得出特殊事實應遵循的規(guī)律，即從一般到特殊．②歸納推理就是從許多個別的事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論，即從特殊到一般．