Question

如圖，點(diǎn)D是等腰三角形ABC的斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)D作DE⊥AB交邊AC于點(diǎn)F，連結(jié)BE，∠E=30°，AB=4，設(shè)DE的長度為x，四邊形DBCF的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出它的定義域；
（2）連結(jié)BF，
①當(dāng)△BDF與△EDB相似時(shí)，求出x的值；
②是否存在x的值，使得△BCF與△EDB相似？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）作CG⊥AB交于G，在直角△BDE中，利用三角函數(shù)求得BD的長，則AD的長即可求解，從而求得△ADF的面積，然后根據(jù)y=S_△ABC-S_△ADF即可求解；
（2）①△BDF與△EDB相似時(shí)，一定有∠DBF=∠E=30°，則可以利用x表示出BD和AD的長，則根據(jù)AB=AD+BD即可列方程求解；
②△BCF與△EDB相似，則一定有∠CBF=∠E=30°，在DE上取一點(diǎn)H，使FH=GE，連接FH，利用x表示AD、DH、HB的長，根據(jù)AB=AD+DH+HB即可列方程求解．

解答：解：（1）作CG⊥AB交于G，
∵等腰Rt△ABC，AB=4，
∴AG=BG=CG=2，
∵DE=x，DE⊥AB，∠E=30°，
∴BD=

3

3

x，AD=DF=4-

3

3

x，
∴S_△ADF=

1

2

AD•DF=

1

2

（4-

3

3

x）²，
又∵S_△ABC=

1

2

×4×2=4，
∴四邊形DBCF的面積y=S_△ABC-S_△ADF=4-

1

2

（4-

3

3

x）²，
即y=-

1

6

x²+

4 3

3

x-4，（2

3

≤x＜4

3

）；
（2）①△BDF與△EDB相似時(shí)，一定有∠DBF=∠E=30°，
在直角△DEF中，DE=

3

DF=

3

x，
在直角△ADF中，AD=DF=x，
則

3

x+x=4，
解得：x=2

3

-2；
②△BCF與△EDB相似，則一定有∠CEF=∠E=30°，
則∠DEF=45°-30°=15°．
在DE上取一點(diǎn)H，使FH=GE，連接FH．
則∠DHF=30°．
DF=x，則HF=HE=

x

sin30°

=2x，DH=

x

tan30°

=

3

x，
則AB=x+

3

x+2x=4，
解得：x=

4

3+ 3

=

2(3- 3 )

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，在△BCF與△EDB相似，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，本題應(yīng)用了方程的思想．