Question

【題目】(2016·新疆中考)如圖，在⊙O中，半徑OA⊥OB，過(guò)OA的中點(diǎn)C作FD∥OB交⊙O于D、F兩點(diǎn)，且CD＝，以O為圓心，OC為半徑作弧CE，交OB于E點(diǎn)．

(1)求⊙O的半徑OA的長(zhǎng)；

(2)計(jì)算陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）

解：(1)連接OD.∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°.在Rt△OCD中，∵C是AO的中點(diǎn)，CD＝，∴OD＝2OC.設(shè)OC＝x，∴x2＋()2＝(2x)2，∴x＝1，∴OD＝2，∴⊙O的半徑為2；

(2)∵sin∠CDO＝＝，∴∠CDO＝30°.∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠CDO＝30°，∴S陰影＝S△CDO＋S扇形OBD－S扇形OCE＝×1×＋－＝＋.

【解析】試題分析：（1）連接OD，首先根據(jù)平行線的性質(zhì)證明OA⊥DF，設(shè)OC＝x，則OD＝2x，在Rt△OCD中利用勾股定理列方程即可解決問(wèn)題；

（2）由OD＝2CO推出∠CDO＝30°，由平行線的性質(zhì)得出∠DOB＝30°，根據(jù)S陰＝S△CDO＋S扇形OBD－S扇形OCE計(jì)算即可．

試題解析：解：（1）連接OD．

∵OA⊥OB，

∴∠AOB＝90°．

∵CD∥OB，

∴∠OCD＝90°．

在Rt△OCD中，∵C是AO的中點(diǎn)，CD＝，

∴OD＝2OC．

設(shè)OC＝x，

∴x2＋()2＝(2x)2，

∴x＝1，

∴OD＝2，

∴⊙O的半徑為2；

（2）∵sin∠CDO＝＝，

∴∠CDO＝30°．

∵FD∥OB，

∴∠DOB＝∠CDO＝30°，

∴S陰影＝S△CDO＋S扇形OBD－S扇形OCE

＝×1×＋－

＝＋．