Question

已知：如圖，△ABE中，AB=AE，以AB為直徑的⊙O交BE于C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AE于D，DC的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若AE=10，BE=12，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，PD⊥AE，則∠DCE+∠E=90°，由AB=AE，OB=OC，得∠CBA=∠E=∠BCO，得出∠PCB+∠BCO=90°，即可得出PD是⊙O的切線．
（2）連接AC，由勾股定理得AC=8，即可證明△EDC∽△BCA，則

DC

CA

=

EC

BA

，代入數(shù)據(jù)即可得出答案．

解答：（1）證明：連接OC，
∵PD⊥AE于D，
∴∠DCE+∠E=90°，
∵AB=AE，OB=OC，
∴∠CBA=∠E=∠BCO，
∵∠DCE=∠PCB，
∴∠PCB+∠BCO=90°，
∴PD是⊙O的切線．

（2）解：連接AC，∵AB=AE=10，AB是⊙O的直徑，BE=12，
∴AC=BE，EC=BC=6，在△ABC中，AB=10，BC=6，∠ACB=90°，由勾股定理得AC=8．
又∵∠CBA=∠E，∠EDC=∠ACB=90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴

DC

CA

=

EC

BA

，
∴

DC

8

=

6

10

，
∴DC=

24

5

…5分

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、切線的判定和性質(zhì)，是重點(diǎn)內(nèi)容要熟練掌握．