Question

【題目】某廠家生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，為了打開市場出臺了相關政策：由廠家協(xié)調(diào)，廠家按成本價提供產(chǎn)品給經(jīng)營戶自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由廠家承擔．李明按照相關政策投資銷售本產(chǎn)品．已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數(shù)：y=﹣10x+500．
（1）李明在開始銷售的第一個月將銷售單價定為20元，那么廠家這個月為他承擔的總差價為多少元？
（2）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
（3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么廠家為他承擔的總差價最少為多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：當x=20時，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，

300×（12﹣10）=300×2=600元，

即政府這個月為他承擔的總差價為600元

（2）解：由題意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）

=﹣10x2+600x﹣5000

=﹣10（x﹣30）2+4000

∵a=﹣10＜0，

∴當x=30時，w有最大值4000元．

即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元

（3）解：由題意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，

解得：x1=20，x2=40．

∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下，

∴結合圖象可知：當20≤x≤40時，4000＞w≥3000．

又∵x≤25，

∴當20≤x≤25時，w≥3000．

設政府每個月為他承擔的總差價為p元，

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）

=﹣20x+1000．

∵k=﹣20＜0．

∴p隨x的增大而減小，

∴當x=25時，p有最小值500元．

即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元

【解析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出銷售的件數(shù)，然后求出政府承擔的成本價與出廠價之間的差價；（2）由總利潤=銷售量每件純賺利潤，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點坐標式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，結合圖象求出利潤的范圍，然后設政府每個月為他承擔的總差價為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價的最小值．