Question

如圖，已知四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，作∠APQ=60°，PQ交DC所在直線于Q，連接AQ．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，如圖1，則△APQ的形狀是

 

；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上，如圖2，（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的反向延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？請?jiān)趥溆脠D上畫出圖形，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，連結(jié)AC，運(yùn)用菱形的性質(zhì)證明△ABP≌△ACQ就可以得出AP=AQ，進(jìn)而就可以得出△APQ為等邊三角形；
（2）如圖2，延長是BA到E，使AE=CP，連接PE運(yùn)用菱形的性質(zhì)證明△AEP≌△PCQ就可以得出AP=PQ，進(jìn)而就可以得出△APQ為等邊三角形；
（3）如圖3，連接AC，運(yùn)用菱形的性質(zhì)證明△APB≌△AQC就可以得出AP=AQ，進(jìn)而就可以得出△APQ為等邊三角形．

解答：解：（1）△APQ的形狀是等邊三角形．
理由：如圖1，連結(jié)AC．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D．
∵∠B=60°，
∴∠B=60°，△ABC為等邊三角形．
∴△ACD為等邊三角形，AC=AB．
∴∠ACD=60°．
∴∠B=∠ACD．
∵∠APQ=60°，
∴∠APQ=∠ACQ，
∴點(diǎn)A、P、C、Q四點(diǎn)共圓．
∴∠AQP=∠ACB=60°，
在△APQ中，
∠APQ=∠AQP=60°，
∴△APQ是等邊三角形，
故答案為：等邊三角形；

（2）（1）中的結(jié)論成立
證明：如圖2，延長是BA到E，使AE=CP，連接PE
∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC，AD∥BC，AB∥CD
∴∠EAD=∠B，∠DCP=∠B，∠DAP=∠APC
∵∠B=60°，
∴∠EAD=∠QCP=60°．
∵∠APQ=60°，
∴∠EAD=∠APQ．
∴∠EAD+∠DAP=∠APQ+∠APB，
∴∠EAP=∠CPQ．
∵AE=CP，AB=BC，
∴BA+AE=BC+CP
∴BE=BP．
∵∠B=60°，
∴△BEP是等邊三角形，
∴∠E=60°
∴∠E=∠QCP，
在△AEP和△PCQ中

∠EAP=∠CPQ AE=PC ∠E=∠QCP

，
∴△AEP≌△PCQ（ASA），
∴PA=PQ，
∴△APQ是等邊三角形；
（3）畫圖為如圖3，（1）中的結(jié)論成立，△APQ是等邊三角形．
理由：連接AC．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠D，AD∥BC，AB∥DC．
∴∠D=∠PCQ．
∵∠ABC=60°，
∴∠D=60°，∠ABP=120°．
∴△ABC為等邊三角形．△ACD為等邊三角形，
∴∠PCQ=60°．∠ACD=60°，
∴∠ACQ=120°．
∴∠ABP=∠ACQ．
∵∠APQ=60°，
∴∠ACQ+∠APQ=180°．
∴點(diǎn)A、P、Q、C四點(diǎn)共圓，
∴∠AQP=∠ACP=60°，
在△APQ中，
∠APQ=∠AQP=60°，
∴△APQ是等邊三角形．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等及靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．