(2012•崇明縣一模)已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,CD⊥AB于D點(diǎn),∠BAC的角平分線交BC于,點(diǎn)E,交線段BD于點(diǎn)F.
(1)求證:AC•AF=AE•AD;
(2)試判斷線段DF與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(3)若令線段DF的長(zhǎng)為x,△BEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
分析:(1)由AE平分∠CAB得到∠CAE=∠FAD,易證得Rt△ACE∽R(shí)t△ADF,則AC:AD=AE:AF,變形后即可得到結(jié)論;
(2)過(guò)E作EM⊥AB于M點(diǎn),根據(jù)角平分線定理可得EM=EC,則Rt△AME≌Rt△ACE,得到AM=AC;再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到
FD
EM
=
AD
AM
,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AM=AC=BC=
2
AD,EM=
2
2
BE,代入上式得到FD=
2
2
BE•
2
2
=
1
2
BE;
(3)過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,根據(jù)三角形的角平分線相交于一點(diǎn)由CD和AE為△ABC的角平分線得到BF平分∠ABC,則FG=FD=x,再根據(jù)三角形的面積公式即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系.
解答:(1)證明:∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠FAD,
而CD⊥AB,
∴∠FDA=90°,
∴Rt△ACE∽R(shí)t△ADF,
∴AC:AD=AE:AF,
∴AC•AF=AE•AD;

(2)解:線段DF=
1
2
BE.理由如下:
過(guò)E作EM⊥AB于M點(diǎn),如圖,
∴EM=EC,
∴Rt△AME≌Rt△ACE,
∴AM=AC
∵FD∥EM,
FD
EM
=
AD
AM

∵∠ACB=90°,CA=CB,
∴△CAB為等腰直角三角形,
∴AM=AC=BC=
2
AD,EM=
2
2
BE,
∴FD=
2
2
BE•
2
2
=
1
2
BE;

(3)解:過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,如圖,
∵CD和AE為△ABC的角平分線,
∴BF平分∠ABC,
∴FG=FD=x,
∴y=
1
2
FG•BE=
1
2
x•2x=x2
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似;相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式以及角平分線的性質(zhì).
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x
y
=
5
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,那么
3x+y
x-y
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9
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k<-4
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BA
=
a
,
BC
=
b

(1)試用向量
a
,
b
表示向量
BD
;
(2)求作:
1
2
b
-
a
.(不要求寫(xiě)作法,但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量)

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