如圖,在⊙O中,弦AB與弦CD相交于點(diǎn)G,OA⊥CD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B的直線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,AC∥BF.

(1)若∠FGB=∠FBG,求證:BF是⊙O的切線;

(2)若tan∠F=,CD=a,請(qǐng)用a表示⊙O的半徑;

(3)求證:GF2﹣GB2=DF•GF.

 

【答案】

(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OAB=∠OBA,然后根據(jù)OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°,從而推出∠FBG+∠OBA=90°,從而得到OB⊥FB,再根據(jù)切線的定義證明即可。

(2)

(3)連接BD,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF,然后求出∠DBG=∠F,從而求出△BDG和△FBG相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式表示出BG2,然后代入等式左邊整理即可得證。

【解析】

分析:(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OAB=∠OBA,然后根據(jù)OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°,從而推出∠FBG+∠OBA=90°,從而得到OB⊥FB,再根據(jù)切線的定義證明即可。

(2)根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACF=∠F,根據(jù)垂徑定理可得CE=CD=a,連接OC,設(shè)圓的半徑為r,表示出OE,然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出r。

(3)連接BD,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF,然后求出∠DBG=∠F,從而求出△BDG和△FBG相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式表示出BG2,然后代入等式左邊整理即可得證。

解:(1)證明:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA。

∵OA⊥CD,∴∠OAB+∠AGC=90°。

又∵∠FGB=∠FBG,∠FGB=∠AGC,

∴∠FBG+∠OBA=90°,即∠OBF=90°!郞B⊥FB。

∵AB是⊙O的弦,∴點(diǎn)B在⊙O上。∴BF是⊙O的切線。 

(2)∵AC∥BF,∴∠ACF=∠F。

∵CD=a,OA⊥CD,∴CE=CD=a。

∵tan∠F=,∴,即。

解得

連接OC,設(shè)圓的半徑為r,則,

在Rt△OCE中,,即,解得

(3)證明:連接BD,

∵∠DBG=∠ACF,∠ACF=∠F(已證),∴∠DBG=∠F。

又∵∠F=∠F,∴△BDG∽△FBG。

,即GB2=DG•GF。

∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF(GF﹣DG)=GF•DF,即GF2﹣GB2=DF•GF。

 

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DB
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S△PDB
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