如圖,在⊙O中,弦AB與弦CD相交于點(diǎn)G,OA⊥CD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B的直線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,AC∥BF.
(1)若∠FGB=∠FBG,求證:BF是⊙O的切線;
(2)若tan∠F=,CD=a,請(qǐng)用a表示⊙O的半徑;
(3)求證:GF2﹣GB2=DF•GF.
(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OAB=∠OBA,然后根據(jù)OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°,從而推出∠FBG+∠OBA=90°,從而得到OB⊥FB,再根據(jù)切線的定義證明即可。
(2)
(3)連接BD,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF,然后求出∠DBG=∠F,從而求出△BDG和△FBG相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式表示出BG2,然后代入等式左邊整理即可得證。
【解析】
分析:(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OAB=∠OBA,然后根據(jù)OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°,從而推出∠FBG+∠OBA=90°,從而得到OB⊥FB,再根據(jù)切線的定義證明即可。
(2)根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACF=∠F,根據(jù)垂徑定理可得CE=CD=a,連接OC,設(shè)圓的半徑為r,表示出OE,然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出r。
(3)連接BD,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠DBG=∠ACF,然后求出∠DBG=∠F,從而求出△BDG和△FBG相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式表示出BG2,然后代入等式左邊整理即可得證。
解:(1)證明:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA。
∵OA⊥CD,∴∠OAB+∠AGC=90°。
又∵∠FGB=∠FBG,∠FGB=∠AGC,
∴∠FBG+∠OBA=90°,即∠OBF=90°!郞B⊥FB。
∵AB是⊙O的弦,∴點(diǎn)B在⊙O上。∴BF是⊙O的切線。
(2)∵AC∥BF,∴∠ACF=∠F。
∵CD=a,OA⊥CD,∴CE=CD=a。
∵tan∠F=,∴,即。
解得。
連接OC,設(shè)圓的半徑為r,則,
在Rt△OCE中,,即,解得。
(3)證明:連接BD,
∵∠DBG=∠ACF,∠ACF=∠F(已證),∴∠DBG=∠F。
又∵∠F=∠F,∴△BDG∽△FBG。
∴,即GB2=DG•GF。
∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF(GF﹣DG)=GF•DF,即GF2﹣GB2=DF•GF。
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