Question

如圖，在正方形ABCD中，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，若DQ+PQ的最小值是2，則正方形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：過(guò)D作DF⊥AE于F，延長(zhǎng)DF交AC于D′，過(guò)D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．由角平分線的性質(zhì)可得出D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長(zhǎng)，則周長(zhǎng)=4×邊長(zhǎng)．
解答：解：過(guò)D作DF⊥AE于F，延長(zhǎng)DF交AC于D′，過(guò)D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．
∵DD′⊥AE于F，
∴∠AFD=∠AFD′=90°，
∵∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，
∴∠DAE=∠CAE，
∵在△DAF與△D′AF中，
，
∴△DAF≌△D′AF（ASA），
∴D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，AD=AD′，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′=2，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′²+AP′²=AD′²，AD′²=8，
∴AD′=2，AD=AD′=2
∴正方形ABCD的周長(zhǎng)=4AD=8．
故答案為8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．