(2010.十堰)如圖,已知⊙O1與⊙O2都過點AAO1是⊙O2的切線,⊙O1O1O2于點B,連結(jié)AB并延長交⊙O2于點C,連結(jié)O2C.

(1)求證:O2CO1O2;

(2)證明:AB·BC=2O2B·BO1;

(3)如果AB·BC=12,O2C=4,求AO1的長.

解:(1)∵AO1是⊙O2的切線,∴O1AAO2 ∴∠O2AB+∠BAO1=90°

O2A=O2C,O1A=O1B,∴∠O2CB=∠O2AB,∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1

∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°,∴O2CO2B,即O2CO1O2

(2)延長O2O1交⊙O1于點D,連結(jié)AD.

BD是⊙O1直徑,∴∠BAD=90°

又由(1)可知∠BO2C=90°

∴∠BAD=∠BO2C,又∠ABD=∠O2BC

∴△O2BC∽△ABD

AB·BC=O2B·BD   又BD=2BO1

AB·BC=2O2B·BO1

(3)由(2)證可知∠D=∠C=∠O2AB,即∠D=∠O2AB,又∠AO2B=∠DO2A

∴△AO2B∽△DO2A

AO22=O2B·O2D

O2C=O2A

O2C2=O2B·O2D ①  

又由(2)AB·BC=O2B·BD

由①-②得,O2C2AB·BC= O2B2  即42-12=O1B2

O2B=2,又O2B·BD=AB·BC=12

BD=6,∴2AO1=BD=6   ∴AO1=3

練習(xí)冊系列答案
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(2010•十堰)如圖,已知⊙O1與⊙O2都過點A,AO1是⊙O2的切線,⊙O1交O1O2于點B,連接AB并延長交⊙O2于點C,連接O2C.
(1)求證:O2C⊥O1O2;
(2)證明:AB•BC=2O2B•BO1;
(3)如果AB•BC=12,O2C=4,求AO1的長.

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同步練習(xí)冊答案
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