Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點C為反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）在第一象限內(nèi)圖象上一點，以點A（-2，-2）和C為頂點的矩形ABCD中，AB∥CD∥x軸，AB交y軸于點Q，CD交y軸于點M，BC∥DA∥y軸于點I，DA交x軸于點N，矩形ABCD被坐標(biāo)軸分成的四個四邊形的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄（如圖1所示），已知S₁=3S₃，

（1）求k的值；
（2）S₂•S₄的值為

48

；
（3）P（0，n）為y軸上一點，以AP為邊作正方形APFG（A，P，F(xiàn)，G的位置依次為順時針方向排列），當(dāng)點F或G恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上（示意圖如圖2所示）時，求所有滿足條件的n的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)C（x_c，y_c），根據(jù)四邊形ANOQ和四邊形MOIC為矩形得到S₃=ON×OQ=4，從而得到S₁=3S₃=12，最后利用K=x_c×y_c=OI×OC=S₁，求得K值；
（2）根據(jù)點C在雙曲線上，得到點C的坐標(biāo)為（xc，

12

xc

），根據(jù)點C的坐標(biāo)表示出點B和點D的坐標(biāo)后即可求得兩個四邊形面積的積；
（3）分當(dāng)點F在雙曲線上和點G在雙曲線上兩種情況求得n值即可．

解答：解：（1）設(shè)C（x_c，y_c）
∵AB∥CD∥x軸，BC∥DA∥y軸∠MOI=∠NOQ=90°
∴四邊形ANOQ和四邊形MOIC為矩形
∴S₃=ON×OQ=4
∴S₁=3S₃=12，∵K=x_c×y_c=OI×OC=S₁，
∴K=12

（2）∵點C在雙曲線上，
∴點C的坐標(biāo)為（xc，

12

xc

）
∵四邊形ABCD是矩形
∴點B的坐標(biāo)為（x_c，-2），
點D的坐標(biāo)為（-2，

12

xc

）
∴S₂•S₄=ON•OM•OI•OQ=2×x_c×2×

12

xc

=48；

（3）（Ⅰ）當(dāng)點F在雙曲線上
作FK⊥y軸 與K，AJ⊥y軸于點J，
∵∠FPK+∠APJ=∠APJ+∠PAJ=90°，
∴∠FPK=∠PAG
又∵∠FKP=∠PGA FP=PA
∴△FPK≌△PAJ
∴PK=AJ=2 FK=PJ=n+2
∴F（n+2，n-2）
將F（n+2，n-2）代入y=

k

x

得：
（n+2）（n-2）=12
解得：n=±4
當(dāng)n=-4時，經(jīng)驗證正方形的頂點也在雙曲線上，
∴n=±4
（Ⅱ）點G在雙曲線上
同理可得：G（n，-4）
∴-4n=12
∴n=-3
∴n=±4，-3．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識，解題的關(guān)鍵是了解在平面直角坐標(biāo)系中如何用點的坐標(biāo)表示出線段的長和如何根據(jù)線段的長表示出點的坐標(biāo)．