Question

（2010•黃巖區(qū)模擬）如圖，△ABC中，AB=BC，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）確定點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）確定直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，若DG=10，F(xiàn)B=2，求直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理求出即可；
（2）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．本題可根據(jù)等腰三角形中兩底角相等，將相等的角進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，即可證得OD⊥DE；
（3）利用垂徑定理以及相交線定理求出即可．

解答：證明：（1）連接BD，
∵AB=BC，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，
∵AB是直徑，∠ADB=90°，
∴點(diǎn)D，在⊙O上；

（2）連接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線．
（3）∵過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，
DG=10，F(xiàn)B=2，
∴DF=FG=5，
∴DF²=BF×AF=25，
∴AF=

25

2

，
∴AB=

29

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、垂徑定理、相交弦定理等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．