Question

如圖，銳角△ABC中，高BE、CF交于點(diǎn)H．
（1）若∠BAC=70°，求∠BHC的度數(shù)；
（2）直接給出四條線段AF、HE、AC、CH之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若AD平分∠BAC交BC于D，AD、CF交于點(diǎn)K，HG平分∠BHC交BC于G．求證：HG∥AD．

Answer 1

分析：（1）利用四邊形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)△ACF和△HCE相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式即可；
（3）用∠BAC表示出∠GHC和∠DKH，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行證明．

解答：解：（1）在四邊形AFHE中，∠AFH=∠AEH=90°，∠BAC=70°，
∴∠BHC=∠FHE=360°-（∠AFH+∠AEH+∠BAC），
=360°-250°，
=110°；
或∠BHC=∠HEC+∠ACH=90°+（90°-∠FAC）=180°-70°=110°；

（2）∵∠ACF=∠HCE，∠AFC=∠HEC=90°，
∴△ACF∽△HCE，
∴

AF

HE

=

AC

HC

，或AF•HC=HE•AC；

（3）由（1）得∠BHC=360°-（90°+90°+∠BAC），
=180°-∠BAC，
又∵HG平分∠BHC，
∴∠GHC=

1

2

∠BHC=90°-

1

2

∠BAC，
∠DKH=∠AKF=90°-∠FAK=90°-

1

2

∠BAC，
∴∠GHC=∠DKH，
∴HG∥AD．

點(diǎn)評：本題考查了多邊形的內(nèi)角和，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，平行線的判定，熟記性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．