Question

4．已知：OC平分∠AOB，以O為端點作射線OD，OE平分∠AOD，
（1）如圖，射線OD在∠AOB內部，∠BOD=80°，求∠COE；
（2）若射線OD繞點O旋轉，∠BOD=α，（α為大于∠AOB的鈍角），∠COE=β，其他條件不變，在這個過程中，探究α與β之間的數(shù)量關系是否發(fā)生變化，請補全圖形并加以說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠AOC=∠BOC，∠BOC+∠COD=80°，∠AOE=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOD，即可得到結論；
（2）如圖1，根據(jù)角平分線的定義得到∠AOC=∠BOC，∠AOE=∠DOE，得到α=2β，；如圖2，根據(jù)角平分線的定義得到∠AOB=2∠AOC，∠AOD=2∠AOE，推出∠AOB+∠AOD=2β，根據(jù)周角的定義得到∠BOD+2β=360°，于是得到結論．

解答 解：（1）∵OC平分∠AOB，以O為端點作射線OD，OE平分∠AOD，射線OD在∠AOB內部，∠BOD=80°，
∴∠AOC=∠BOC，∠BOC+∠COD=80°，∠AOE=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠COE=$\frac{∠AOC-∠COD}{2}+∠COD$=$\frac{∠AOC+∠COD}{2}=\frac{80°}{2}=40°$
即∠COE是40°；

（2）α與β之間的數(shù)量關系是α=2β或$β+\frac{α}{2}=180°$，不會發(fā)生變化
如圖1，∵OC平分∠AOB，以O為端點作射線OD，OE平分∠AOD
∴∠AOC=∠BOC，∠AOE=∠DOE，
∵∠BOD=2∠AOC+2∠AOE=2∠COE，
即α=2β，；
如圖2，∵OC平分∠AOB，以O為端點作射線OD，OE平分∠AOD，
∴∠AOB=2∠AOC，∠AOD=2∠AOE，
∵∠COE=β，
∴∠AOB+∠AOD=2β，
∴∠BOD+2β=360°，
即α+2β=360°，
∴β+$\frac{α}{2}$=180°．

點評 本題考查了角的有關計算，角平分線定義的應用，主要考查學生能否熟練地運用角平分線定義進行計算．