Question

如圖所示，在△ABC中，點D、E在邊BC上∠CAE=∠B，E是CD的中點，BD=AD，且AD平分∠BAE．

①當∠BAC=90°時，求證BD=AC；

②當∠BAC≠90°時，是否依然有BD=AC？說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：①∵在△ABC中，∠BAC=180°－∠B－∠C， 在△ACE中，∠AEC=180°－∠CAE－∠C， 又∵∠CAE=∠B， ∴∠AEC=∠BAC=90°， ∴AE⊥CD． 在△ACE和△ADE中， ∴△ACE≌△ADE(SAS)． ∴AC=AD． 又∵AD=BD，∴BD=AC． ②BD=AC仍然成立． 延長AE到點F，使EF=AE，連接DF． 在△ACE和△FDE中， ∴△ACE≌△FDE(SAS)． ∴AC=DF，∠CAE=∠F， 又∵∠CAF=∠B，所以∠F=∠B， 在△ADF和△ADB中， ∴△ADF≌△ADB(AAS)． ∴BD=DF，∴AC=BD．

提示：

①欲證BD=AC，題目中已有BD=AD，故只須證AD=AC，從而證明△ADE≌△ACE即可．