Question

如圖，AB垂直平分CD，AB與CD相交于點O，CD=2 cm，∠CAD=90°,∠CBD=60°,

點P、Q、M、N分別沿圖示方向在線段上運動，同時開始以1cm/s的速度運動。

（1）       設出發(fā)時間為t(s)是否存在某一時刻，四邊形PQMN為長方形，若存在，請證明時間；若不存在，請說明理由；

（2）       點P、Q、M、N分別與點O連結，圖中陰影部分圖形稱為蝶形，求蝶形面積S關于t的函數關系式（0＜t＜）；

（3）       當t=時，在AB上找一點G，使GQ+GM最小，畫出圖形并求此時OG的長。

備用圖

        （1）                      （2）                    （3）  

Answer 1

（1）要是四邊形成為長方形，證PQ=MN

∵AB垂直平分CD,

∴CO=DO

∵∠CAD=90°,∠CBD=60°，CD=2 cm

∴AO=CO=DO=1,BO=,CB=DB=2 （直接利用相似也行）

∵AP=AQ=BM=BN= t

∴PQ= t,MN= t

∴不存在某一時刻，四邊形PQMN為長方形-

（2）如圖作AB與PQ、MN交于點E、F

∵PQ= t,MN= t

∴PE=QE= t,EO=1- t

MF=NF= t,BF= t,FO=- t

S=S_梯形PQMN-S_△POQ-S_△MON=-

（3）利用軸對稱與兩點之間線段

如圖，M關于AB的對稱點為N,P、Q與C、D重合，

連結NQ交AB與點G，此時GQ+GM最小

計算OG的長可以建立直角坐標系，求出NQ所在直線的函數與Y軸的交點G（0，）

∴OG=-