Question

（2012•杭州）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k（x²+x-1）的圖象交于點(diǎn)A（1，k）和點(diǎn)B（-1，-k）．
（1）當(dāng)k=-2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)k=-2時(shí)，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=

m

x

，利用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）由反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函數(shù)y=k（x²+x-1）的對(duì)稱軸為x=-

1

2

，可得x＜-

1

2

時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大；
（3）由△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（-

1

2

，-

5

4

k），A（1，k），即可得

1 4 + 25 16 k2

=

1+k2

，繼而求得答案．

解答：解：（1）當(dāng)k=-2時(shí)，A（1，-2），
∵A在反比例函數(shù)圖象上，
∴設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=

m

x

，
代入A（1，-2）得：-2=

m

1

，
解得：m=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

2

x

；

（2）∵要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，
∴k＜0，
∵二次函數(shù)y=k（x²+x-1）=k（x+

1

2

）²-

5

4

k，對(duì)稱軸為：直線x=-

1

2

，
要使二次函數(shù)y=k（x²+x-1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對(duì)稱軸的左邊，
即x≤-

1

2

時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大，
∴綜上所述，k＜0且x≤-

1

2

；

（3）由（2）可得：Q（-

1

2

，-

5

4

k），
∵△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（如圖是其中的一種情況）
∴原點(diǎn)O平分AB，
∴OQ=OA=OB，
作AD⊥OC，QC⊥OC，
∴OQ=

CQ2+OC2

=

1 4 + 25 16 k2

，
∵OA=

AD2+OD2

=

1+k2

，
∴

1 4 + 25 16 k2

=

1+k2

，
解得：k=±

2

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．