如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動,設(shè)AP=x,現(xiàn)將紙片折疊,使點D與點P重合,得折痕EF(點E、F為折痕與矩形邊的交點),再將紙片還原.
(1)當(dāng)x=0時,折痕EF的長為______;當(dāng)點E與點A重合時,折痕EF的長為______
【答案】分析:(1)當(dāng)x=0時,點A與點P重合,則折痕EF的長等于矩形ABCD中的AB,當(dāng)點E與點A重合時,折痕是一個直角的角平分線,可求EF=
(2)由題意可知,EF垂直平分線段DP,要想使四邊形EPFD為菱形,則EF也應(yīng)被DP平分,所以點E必須要在線段AB上,點F必須在線段DC上,即可確定x的取值范圍.再利用勾股定理確定菱形的邊長.
(3)構(gòu)造直角三角形,利用相似三角形的對應(yīng)線段成比例確定y的值,再利用二次函數(shù)的增減性確定y的最大值.
解答:解:(1)當(dāng)x=0時,折痕EF=AB=3,當(dāng)點E與點A重合時,折痕EF==

(2)1≤x≤3.
當(dāng)x=2時,如圖,連接PE、PF.
∵EF為折痕,
∴DE=PE,
令PE為m,則AE=2-m,DE=m,
在Rt△ADE中,AD2+AE2=DE2
∴1+(2-m)2=m2,解得m=;
此時菱形邊長為

(3)如圖2,過E作EH⊥BC;
∵△EFH∽△DPA,
,
∴FH=3x;
∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2
當(dāng)F與點C重合時,如圖3,連接PF;

∵PF=DF=3,
∴PB=,
∴0≤x≤3-2
∵函數(shù)y=9+9x2的值在y軸的右側(cè)隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=3-2時,y有最大值,
此時∠EPF=90°,△EAP∽△PBF.
綜上所述,當(dāng)y取最大值時△EAP∽△PBF,x=3-2
點評:此題是一道綜合性較強的題目,主要考查學(xué)生的圖感,利用折疊過程中的等量關(guān)系尋找解題途徑;特別是最后一問中涉及到的知識點比較多,需要同學(xué)們利用相似三角形的性質(zhì)確定函數(shù)關(guān)系式后再根據(jù)自變量的取值范圍來確定二次函數(shù)的最值問題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,點P從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點B運動,點Q從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C運動,設(shè)經(jīng)過的時間為xs,△PBQ的面積為ycm2,則下列圖象能反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是(  )
A、精英家教網(wǎng)B、精英家教網(wǎng)C、精英家教網(wǎng)D、精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,點O在對角線AC上,以O(shè)A的長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F,且∠ACB=∠DCE精英家教網(wǎng)
(1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AB=
2
,BC=2,求⊙O的半徑.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖①,在矩形 ABCD中,AB=30cm,BC=60cm.點P從點A出發(fā),沿A→B→C→D路線向點D勻速運動,到達(dá)點D后停止;點Q從點D出發(fā),沿 D→C→B→A路線向點A勻速運動,到達(dá)點A后停止.若點P、Q同時出發(fā),在運動過程中,Q點停留了1s,圖②是P、Q兩點在折線AB-BC-CD上相距的路程S(cm)與時間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系圖象.
(1)請解釋圖中點H的實際意義?
(2)求P、Q兩點的運動速度;
(3)將圖②補充完整;
(4)當(dāng)時間t為何值時,△PCQ為等腰三角形?請直接寫出t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,∠AOB=60°,AB=6,則AD=( �。�

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E為線段BC上的動點(不與B、C重合).連接DE,作EF⊥DE,EF與AB交于點F,設(shè)CE=x,BF=y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)x為何值時,y的值最大,最大值是多少?
(3)若設(shè)線段AB的長為m,上述其它條件不變,m為何值時,函數(shù)y的最大值等于3?

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同步練習(xí)冊答案
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