Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（2，0），現(xiàn)以B為圓心，1為半徑在第一象限內(nèi)畫半圓，M，N是此半圓的三等分點，點P在$\widehat{MN}$上，射線AP交y軸于點Q，當(dāng)點P從點M運動到點N時，點Q相應(yīng)移動的路徑長為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
• B． $\frac{8}{15}$$\sqrt{3}$
• C． 2-$\frac{4}{5}$$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$-2

Answer 1

分析 延長AN交y軸于Q₁，延長AM交y軸于Q₂，作NE⊥OA于E，由NE∥OQ₁，得$\frac{NE}{O{Q}_{1}}=\frac{AE}{AO}$求出OQ₁，再證明∠BAM=30°，在RT△OAQ₂中求出OQ₂即可求出Q₁Q₂．

解答 解：如圖延長AN交y軸于Q₁，延長AM交y軸于Q₂，作NE⊥OA于E，
∵M、N是半圓的三等分點，
∴∠NBO=∠MBN=∠MBA=60°，
在RT△BNE中，∵BN=1，∠NBE=60°，
∴∠BNE=30°，EB=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$，NE=$\sqrt{3}$EB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵NE∥OQ₁，
∴$\frac{NE}{O{Q}_{1}}=\frac{AE}{AO}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{O{Q}_{1}}=\frac{\frac{5}{2}}{4}$，
∴OQ₁=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，
∵BM=BG，∠MBG=60°，
∴△MBG是等邊三角形，
∴MG=BM=AG，
∴∠AMB=90°，∠MAB=30°，
在RT△AOQ₂中，∵AO=4，∠OAQ₂=30°，
∴OQ₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴Q₁Q₂=OQ₂-OQ₁=$\frac{8\sqrt{3}}{15}$．
故選B．

點評 本題考查軌跡的有關(guān)知識、直角三角形30度角的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解軌跡題目的關(guān)鍵是找到起始點和終點的位置，確定軌跡的圖形．