Question

某工藝品由一個(gè)底面朝上的圓錐體上方嵌入一圓球組成，其橫截面如圖所示，已知圓錐的母線AB、AC和球體相切，且與底座夾角均為75°，圓錐體底面的周長(zhǎng)為20πcm，求球體的半徑（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，結(jié)果精確到0.1）

Answer 1

解：連接BC，OB，連接OA交BC于點(diǎn)D，
∵圓錐的母線AB、AC和球體相切，
∴OB⊥AB于點(diǎn)B，
∵AB、AC和與底座夾角均為75°，
∴∠BAO=∠BOC=×30°=15°
∵圓錐體底面的周長(zhǎng)為20πcm，
∴BD=20π÷2π=10
∴OB=BD÷cos15°=10÷0.97≈10.3cm．
故球體的半徑約為10.3cm．
分析：連接BC，OB，連接OA交BC于點(diǎn)D，首先利用圓錐的底面周長(zhǎng)求得線段BC的長(zhǎng)，然后求得半徑OB的長(zhǎng)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算及切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形并求解．