Question

14．如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE，過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{6}$，下列結(jié)論：
①△APD≌△AEB；
②點B到直線AE的距離為$\sqrt{3}$；
③EB⊥ED；
④S_△APD+S_△APB=1+$\sqrt{2}$   
⑤S_{正方形ABCD}=5+2$\sqrt{2}$．
其中正確的序號是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③⑤
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，易得∠BEP=90°，即可證；②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，結(jié)合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB²，即是正方形的面積；④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可．

解答 解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
在△APD和△AEB中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AE}\\{∠PAD=∠EAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴△APD≌△AEB（SAS）（故①正確）；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED（故③正確）；
②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE=$\sqrt{B{P}^{2}-P{E}^{2}}$=2，
∴BF=EF=$\sqrt{2}$（故②不正確）；
④如圖，連接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=$\sqrt{2}$，
又∵PB=$\sqrt{6}$，
∴BE=2，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=2，
∴S_△ABP+S_△ADP=S_△ABD-S_△BDP=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}-$\frac{1}{2}$×DP×BE=$\frac{1}{2}$×（2+3+2$\sqrt{2}$）-$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．（故④不正確）．
⑤∵EF=BF=$\sqrt{2}$，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB²=（AE+EF）²+BF²=3+2$\sqrt{2}$+2=5+2$\sqrt{2}$，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=5+2$\sqrt{2}$（故⑤正確）；
故選：B．

點評 本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正方形和三角形的面積公式、勾股定理等知識，綜合性比較強，得出△APD≌△AEB，進而結(jié)合全等三角形的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵．