Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足為D，AC=20，BC=15．動點P從A開始，以每秒2個單位長的速度沿AB方向向終點B運動，過點P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為E、F．
（1）求AB與CD的長；
（2）當矩形PECF的面積最大時，求點P運動的時間t；
（3）以點C為圓心，r為半徑畫圓，若圓C與斜邊AB有且只有一個公共點時，求r的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）在△ABC中，利用勾股定理計算出AB=25，然后利用面積法計算CD=12；
（2）由于PE∥BC，根據相似三角形的判定方法得到△APE∽△ABC，則利用相似得到AE=

8

5

t，PE=

6

5

t，則CE=AC-AE=20-

8

5

t，根據矩形的面積公式得到矩形PECF的面積=PE•CE=

6

5

t•（20-

8

5

t），配方得到矩形PECF的面積=-

48

25

（t-

25

4

）²+75，然后根據二次函數的性質得到t=

25

4

時，矩形PECF的面積最大；
（3）分類討論：當r=CD=12時，圓C與斜邊AB相切；當15＜r≤20時，圓C與斜邊AB作在的直線相交，但圓C與斜邊AB有且只有一個公共點．

解答：解：（1）在△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15，
∴AB=

AC2+BC2

=25；
∵CD⊥AB，
∴

1

2

AC•BC=

1

2

CD•AB，
∴CD=

20×15

25

=12；

（2）∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AE

AC

=

PE

BC

，即

2t

25

=

AE

20

=

PE

15

，
∴AE=

8

5

t，PE=

6

5

t，
∴CE=AC-AE=20-

8

5

t，
∴矩形PECF的面積=PE•CE=

6

5

t•（20-

8

5

t）
=-

48

25

t²+24t
=-

48

25

（t-

25

4

）²+75（0≤t≤

25

2

），
當t=

25

4

時，矩形PECF的面積最大，最大值為75；

（3）當r=CD=12時，圓C與斜邊AB相切，即圓C與斜邊AB有且只有一個公共點；
當15＜r≤20時，圓C與斜邊AB作在的直線相交，但圓C與斜邊AB有且只有一個公共點，
即r的取值范圍為r=12或15＜r≤20．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握直線與圓的位置關系、二次函數的性質；會運用勾股定理和相似比進行幾何計算．