Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∠ABC的平分線交AD、AC于E、F，點(diǎn)P是BF延長線上一點(diǎn)，且∠APB=45°，連接PC；以下結(jié)論：①CF=2DE；②BE=PE；③AE•CF=AP•EF；④BF•PB+CF•AC=AB²．其中正確的結(jié)論是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

C
分析：首先過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，由題意易得△ABD，△ACD，△CFG是等腰直角三角形，△AEF與△APE是等腰三角形，然后由△ABF∽△DBE，可求得①正確；再過點(diǎn)P作PH⊥AD于H，由等腰三角形的性質(zhì)與平行線分線段成比例定理，可求得②正確；又由△ABP∽△FBC，可證得③正確；由△ABP∽△FBC，可得BF•PB=AB•BC=AB²，由CF=FG=AF，可得CF•AC=（2-）AB²，繼而可求得BF•PB+CF•AC=2AB²．
解答：過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD是高，EF是∠ABC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ABF=∠CBF=∠ABC=22.5°，F(xiàn)G=FA，
∴△ABD、△ACD與△CFG是等腰直角三角形，
∴AD=BD=CD，
∵∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠BDE=90°，
∴△ABF∽△DBE，
∴AF：DE=AB：BD=，
∴AF=DE，
∴FG=DE，
∵CF=FG=×DE=2DE，
故①正確；
過點(diǎn)P作PH⊥AD于H，
∵∠APB=45°，∠EAF=45°，∠AEP=∠BED=90°-∠CBF=67.5°，
∴∠PAE=180°-∠APB-∠AEP=67.5°，∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=67.5°，
∴∠PAE=∠AEP，∠EAF=∠AEF，
∴PA=PE，AE=AF，
∴AH=HE，
∴AE=FG=DE，
∴HE=DE，
∵∠PHD=∠BDH=90°，
∴PH∥BD，
∴PE：BE=EH：ED=：2，
∴BE=PE；
故②正確；
∵∠EAF=∠APB，∠AEF=∠AEP，
∴△AEF∽△PEA，
∴AP：AE=AE：EF，
∴AE²=AP•EF，
∵CF=FG=AE，
∴AE•CF=AE²=AP•EF；
故③正確；
∵∠ABP=∠CBP，∠APB=∠ACB=45°，
∴△ABP∽△FBC，
∴AB：BF=PB：BC，
∴AB•BC=BF•PB，
∵BC=AB，
∴BF•PB=AB•BC=AB²，
∵CF=FG=AF，
∴CF=AC=（2-）AC，
∴CF•AC=（2-）AC•AC=（2-）AB²，
∴BF•PB+CF•AC=AB²+（2-）AB²=2AB²．
故④錯(cuò)誤．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．