Question

14．已知，如圖，AB=BC，∠ABC=90°，且AE=EF，∠AEF=90°，BE與CF相交于點D，連接AD．
（1）如圖①，若∠ABE=∠AEB，AG⊥BD，垂足為G，求證：BG=GE；
（2）在（1）條件下，猜想線段CD，DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖②，若∠ABE=α，∠AEB=135°，猜想四邊形AEFD的形狀，并說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明．
（2）圖①作CM⊥BD，F(xiàn)N⊥BD垂足分別為M、N，只要證明△CBM≌△FEN，△DMC≌△DNF即可．
（3）先證明△ACF∽△ABE得∠ODC=∠OAB=45°，再證明DF=EF=AE=AD即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖①中，
∵∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AG⊥BE，
∴BG=EG．
（2）結(jié)論：CD=DF，理由如下：
在圖①中，作CM⊥BD，F(xiàn)N⊥BD垂足分別為M、N．
∵∠ABE=∠AEB，
∴EF=AE=AB=AC，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEN+∠AEG=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBM=90°，
∴∠FEN=∠CBM
在△CBM和△FEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEN=∠CBM}\\{EF=BC}\\{∠FNE=∠CMB=90°}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△FEN，
∴MC=FN，
在△DMC和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDC=∠FDN}\\{∠DMC=∠FND=90°}\\{CM=FN}\end{array}\right.$，
∴△DMC≌△DNF，
∴CD=DF．
（3）如圖②中，結(jié)論：四邊形AEFD是正方形，理由如下：
∵△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠AEF=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$AB，AF=$\sqrt{2}$AE，∠BAC=∠EAF=45°，
∴∠BAE=∠CAF，$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}=\sqrt{2}$，
∴△ACF∽△ABE，
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠AOB=∠DOC，
∴∠ODC=∠OAB=45°
∵∠AEB=135°，
∴∠AED=∠DEF=∠ODF=45°，
∴FE=FD，
∵EA=EF，∠AED=∠FED，
∴ED垂直平分AF，
∴DA=DF=EF=AE，
∴四邊形AEFD是菱形，
∵∠AEF=90°，
∴四邊形AEFD是正方形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．