Question

2．已知如圖，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，EF⊥AB于F．
（1）求證：△ACE≌△AFE；
（2）若BF=$\frac{1}{2}$AB，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EC=EF，然后根據(jù)“HL”可證明Rt△ACE≌△AFE；
（2）由于AF=BF，EF⊥AB，則利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到EA=EB，所以∠EAB=∠B，再利用∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和和計(jì)算出∠B的度數(shù)．

解答 （1）證明：∵AE平分∠BAC，
而EC⊥AC，EF⊥AB，
∴EC=EF，
在Rt△ACE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EC=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌△AFE；
（2）解：∵BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AF=BF，
∵EF⊥AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CAB=2∠B，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴2∠B+∠B=90°，
∴∠B=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．