Question

已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E，連接AC、OD．
（1）求證：∠D=90°-2∠BAC；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）連接AD，OD，求得∠OAD=∠ODA，∠CAE=∠DAE，進(jìn)而求得∠EOD=2∠OAD，即可求得∠ODE=90°-∠EOD=90°-2∠OAD=90°-2∠BAC．
（2）根據(jù)垂徑定理得出ED=12cm，然后根據(jù)勾股定理即可求得⊙O的半徑，進(jìn)而求得直徑．

解答：解：（1）連接AD，OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠EOD=∠OAD+∠ODA，
∴∠EOD=2∠OAD，
∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E，
∴CE=DE，
∴AC=AD，
∴∠CAE=∠DAE，
∴∠ODE=90°-∠EOD=90°-2∠OAD=90°-2∠BAC．

（2）∵CD=24cm，EB=8cm，
∴ED=12cm，
在RT△OED中，OD=OB，
∵OD²=（OB-BE）²+DE²
設(shè)OD=OB=R
R²=（R-8）²+12²
解得R=13，
∴2R=26，
∴⊙O的直徑為26cm

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)等，應(yīng)用垂徑定理得出AB垂直平分CD是本題的關(guān)鍵．