Question

如圖1，正方形ABCD中，C（-3，0），D（0，4）．過A點(diǎn)作AF⊥y軸于F點(diǎn)，過B點(diǎn)作x軸的垂線交過A點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象于E點(diǎn)，交x軸于G點(diǎn)．
（1）求證：△CDO≌△DAF；
（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖2，過點(diǎn)C作直線l∥AE，在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使△PAC是等腰三角形？若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)AD=CD，∠ADC=90°，再利用等角的余角相等得到∠DAF=∠CDO，于是可根據(jù)“AAS”證明△CDO≌△DAF；
（2）由于△CDO≌△DAF，根據(jù)全等的性質(zhì)得AF=OD=4，DF=OC=3，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，7），再利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)解析式為y=-

28

x

；與（1）中的方法一樣可證明△CDO≌△BGC，得到CG=OD=4，則得到E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-7，然后利用反比例函數(shù)解析式可確定E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖2，作AH⊥x軸于H，在Rt△ACH中，根據(jù)勾股定理得到AC²=50，利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式為y=x+11，由于直線l∥AE，則直線l的解析式為設(shè)為y=x+b，把C（-3，0）代入可計(jì)算出b=3，則直線l的解析式為設(shè)為y=x+3，于是可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t+3），然后利用兩點(diǎn)間的距離公式得到AP²=（t+4）²+（t-4）²，CP²=（t+3）²+（t+3）²，接著進(jìn)行分類討論：當(dāng)CP=CA時(shí)，即（t+3）²+（t+3）²=50；當(dāng)AP=AC時(shí)，（t+4）²+（t-4）²=50；當(dāng)PC=PA時(shí)，（t+3）²+（t+3）²=（t+4）²+（t-4）²，分別解方程求出t的值，從而可得到滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：（1）證明：如圖1，
∵C（-3，0），D（0，4），
∴OC=3，OD=4，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDO=90°，
∵AF⊥y軸，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDO，
在△CDO和△DAF中

∠DOC=∠AFD ∠CDO=∠DAF CD=DA

，
∴△CDO≌△DAF；
（2）解：如圖1，
∵△CDO≌△DAF，
∴AF=OD=4，DF=OC=3，
∴OF=OD+DF=3+4=7，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，7），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

，
把A（-4，7）代入y=

k

x

得k=-4×7=-28，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

28

x

，
與（1）中的方法一樣可證明△CDO≌△BGC，
∴CG=OD=4，
∴OG=OC+CG=7，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-7，
把x=-7代入y=-

28

x

得y=4，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-7，4）；
（3）解：存在．
如圖2，作AH⊥x軸于H，
在Rt△ACH中，AH=7，CH=1，則AC²=7²+1²=50，
設(shè)直線AE的解析式為y=mx+n，
把A（-4，7）和B（-7，4）代入y=mx+n得

-4k+b=7 -7k+b=4

，解得

m=1 n=11

，
∴直線AE的解析式為y=x+11，
∵直線l∥AE，
∴直線l的解析式為設(shè)為y=x+b，
把C（-3，0）代入得-3+b=0，解得b=3，
∴直線l的解析式為設(shè)為y=x+3，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t+3），
∴AP²=（t+4）²+（t-4）²，CP²=（t+3）²+（t+3）²，
當(dāng)CP=CA時(shí)，（t+3）²+（t+3）²=50，解得t₁=2，t₂=-8，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）或（-8，-5）；
當(dāng)AP=AC時(shí)，（t+4）²+（t-4）²=50，解得t₁=3，t₂=-3（舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，6）；
當(dāng)PC=PA時(shí)，（t+3）²+（t+3）²=（t+4）²+（t-4）²，解得t=

7

6

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

7

6

，

25

6

），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）或（-8，-5）或（3，6）或（

7

6

，

25

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．