Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第二、四象限的角平分線．
（1）由圖觀察易知A（2，0）關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標為（0，-2），請在圖中分別標明B（5，3）、C（2，5），關(guān)于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出它們的坐標；B′

 

、C′

 

；
（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內(nèi)任一點P（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為

 

（不必證明）；
（3）已知兩點D（-1，-3）、E（1，-4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,坐標與圖形變化-對稱

專題：

分析：（1）分別作B（5，3）、C（2，5）關(guān)于直線l的對稱點B'，C'，B'（-3，-5）、C'（-5，-2）；
（2）觀察以上三組點的坐標，會發(fā)現(xiàn)坐標平面內(nèi)任一點P（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對稱點P'的坐標為（-b，-a）；
（3）先求出點D關(guān)于直線l的對稱點D'的坐標為（3，1），再運用待定系數(shù)法求出點E、點D'的直線解析式為y=

5

2

x-

13

2

．點Q是直線y=

5

2

x-

13

2

與直線l：y=-x的交點，解方程組：

y= 5 2 x- 13 2 y=-x

，即可得到點Q的坐標．

解答：解：（1）如圖：B'（-3，-5）、C'（-5，-2）；

（2）∵A（2，0）關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標為（0，-2），
B（5，3）關(guān)于直線l的對稱點B'（-3，-5），
C（2，5）關(guān)于直線l的對稱點C'（-5，-2），
∴發(fā)現(xiàn)：坐標平面內(nèi)任一點P（a，b）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（-b，-a）；

（3）點D關(guān)于直線l的對稱點D'的坐標為（3，1）．
設(shè)過點E、點D'的直線解析式為：y=kx+b，
分別把點E、D'的坐標代入得

k+b=-4 3k+b=1

，
解得

k= 5 2 b=- 13 2

，
∴y=

5

2

x-

13

2

．
解方程組：

y= 5 2 x- 13 2 y=-x

，
得

x= 13 7 y=- 13 7

，
∴點Q的坐標為（

13

7

，-

13

7

）．
故答案為（-3，-5），（-5，-2）；（-b，-a）．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，兩直線交點坐標的求法，難度適中．關(guān)鍵是由軸對稱的知識，結(jié)合圖形，得出關(guān)于直線y=-x軸對稱的兩點坐標關(guān)系．