Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，在對稱中心O處有一釘子．動點P，Q同時從點A出發(fā)，點P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度運(yùn)動，到點C停止，點Q沿A?D方向以每秒1cm的速度運(yùn)動，到點D停止．P，Q兩點用一條可伸縮的細(xì)橡皮筋連接，設(shè)x秒后橡皮筋掃過的面積為ycm²．
（1）當(dāng)0≤x≤1時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時，求x值；
（3）當(dāng)1≤x≤2時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運(yùn)動停止時∠POQ的變化范圍；
（4）當(dāng)0≤x≤2時，請在給出的直角坐標(biāo)系中畫出y與x之間的函數(shù)圖象．

Answer 1

解：（1）當(dāng)0≤x≤1時，AP=2x，AQ=x，y=AQ•AP=x²，
即y=x²．

（2）當(dāng)S_{四邊形ABPQ}=S_{正方形ABCD}時，橡皮筋剛好觸及釘子，
BP=2x-2，AQ=x，（2x-2+x）×2=×2²，∴x=．

（3）當(dāng)1≤x≤時，AB=2，PB=2x-2，AQ=x，
∴y=×2=3x-2，
即y=3x-2．
作OE⊥AB，E為垂足．
當(dāng)≤x≤2時，
BP=2x-2，AQ=x，OE=1，y=S_梯形BEOP+S_梯形OEAQ==，
即y=x．
90°≤∠POQ≤180°．

（4）如圖所示：
．
分析：（1）當(dāng)0≤x≤1時，AP=2x，AQ=x，則y=AQ•AP=x²．
（2）根據(jù)題意，橡皮筋剛好觸及釘子時，橡皮筋掃過的面積正好是正方形的一半由此的求出x的值．
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論，一是橡皮筋剛觸及釘子時及其以前，二是觸及釘子，橡皮筋彎曲后兩種情況．第一種情況，按梯形的面積進(jìn)行計算．第二種情況要從中間分成兩個梯形，然后按兩個梯形的面積進(jìn)行計算．
（4）根據(jù)（1）（2）（3）中得出的不同x的取值下的y的函數(shù)式畫圖即可．
點評：本題為運(yùn)動型綜合題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的綜合能力．運(yùn)動類題，要以特定靜止?fàn)顟B(tài)，尋找量之間關(guān)系