Question

（2008•株洲）如圖所示，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C，連接AC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，∠CPA的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)M，你認(rèn)為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，求出∠CMP的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線(xiàn)，連接OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的長(zhǎng)，可將PC的長(zhǎng)求出；
（2）通過(guò)角之間的轉(zhuǎn)化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不發(fā)生變化．
解答：解：（1）連接OC，
∵AB=4，∴OC=2
∵PC為⊙O的切線(xiàn)，∠CPO=30°
∴PC=；

（2）∠CMP的大小沒(méi)有變化．
理由如下：∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A=∠COP（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半），
∠MPA=∠CPO（角平分線(xiàn)的性質(zhì)），
∴∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)及對(duì)直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用．