Question

（2005•常州）已知⊙O的半徑為1，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．有一個正方形ABCD，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），頂點(diǎn)A在x軸上方，頂點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動．
（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到與點(diǎn)A、O在一條直線上時，CD與⊙O相切嗎？如果相切，請說明理由，并求出OD所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；如果不相切，也請說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，正方形ABCD的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證CD是⊙O的切線，根據(jù)Rt△ODE∽Rt△OBA得到DE的長，再求出D₁的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，則BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²，所以S=AB²=BD²=7+x，因為-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．
解答：解：（1）CD與⊙O相切．
∵A、D、O在一直線上，∠ADC=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線．
CD與⊙O相切時，有兩種情況：
①切點(diǎn)在第二象限時（如圖1），
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則a²+（a+1）²=13，
解得a=2，或a=-3（舍去），
過點(diǎn)D作DE⊥OB于E，
則Rt△ODE∽Rt△OBA，
∴，
∴DE=，OE=，
∴點(diǎn)D₁的坐標(biāo)是（-，），
∴OD所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=；
②切點(diǎn)在第四象限時（如圖2），
設(shè)正方形ABCD的邊長為b，則b²+（b-1）²=13，
解得b=-2（舍去），或b=3，
過點(diǎn)D作DF⊥OB于F，則Rt△ODF∽Rt△OBA，
∴，
∴OF=，DF=，
∴點(diǎn)D₂的坐標(biāo)是（，-），
∴OD所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=；

（2）如圖3，
過點(diǎn)D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，
則BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²=（--x）²+1-x²=14+2x，
∴S=AB²=BD²=7+x，
∵-1≤x≤1，
∴S的最大值為7+，S的最小值為7-．
點(diǎn)評：最值問題的解決方法，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．