Question

如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在x、y軸上，OA=1，OB=2，若點(diǎn)D在x軸下方，且使得△AOB與△OAD相似，則這樣的點(diǎn)D有    個(gè)，其坐標(biāo)分別是    ．

Answer 1

【答案】分析：此題分為若AD是斜邊，且△AOB∽△AOD與△AOB∽△DOA以及△AOB∽△DAO去分析，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，小心別漏解．
解答：解：∵OA=1，OB=2，
∴AB=，
①如圖：若AD是斜邊，且△AOB∽△AOD，
則∠AOB=∠AOD=90°，
∴=1，
∴DO=2，
∴D₁（0，-2）；
易得：△AOB∽△ADO，D₂（1，-2）；

②如圖：若△AOB∽△DOA，
則∠AOB=∠AOD=90°，
∴，
即，
解得：DO=，
∴D₃（0，-）；
易得：△AOB∽△DAO時(shí)，D₄（1，-）；

③如圖：若△AOB∽△ADO，
∴∠ADO=90°，
∴，∠AOD=∠OAB，
∴，
∴OD=，
∴sin∠AOD==sin∠OAB=，
∴，
∴DH=，則OH=，
∴D₅（，-）；
易得：D₆（，-）．
∴這樣的點(diǎn)D有6個(gè)，其坐標(biāo)分別是（0，-2），（1，-2），（0，），（1，），（，），（，）．
故答案為：6，（0，-2），（1，-2），（0，），（1，），（，），（，）．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意不要漏解．