Question

如圖，ABCD是一個正方形，P、Q是正方形外兩點，且△APD和△BCQ是等邊三角形，則∠PQD的正切值是

1. A.
   2-
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：連結(jié)AQ，通過證明△ABQ≌△DCQ，就可以得出PQ是AD的中垂線，可以得出PQ是BC的中垂線，就可以表示出QE的值，CE的值，就可以求出∠PQD的正切值．
解答：連結(jié)AQ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC．
∴∠AFQ=∠BEQ．
∵△APD和△BCQ是等邊三角形，
∴PD=PA=AD，BQ=CQ=BC，∠BCQ=∠CBQ=60°，
∴∠DCB+∠BCQ=∠ABC+∠CBQ，
∴∠DCB=∠BBQ．
∵在△DCQ和△ABQ中，
，
∴△DCQ≌△ABQ（SAS），
∴DQ=AQ．
∵DQ=AP，
∴PQ是AD的中垂線，
∴∠AFQ=∠AFP=90°，DF=AD，
∴∠BEQ=90°，
∴CE=BC．
設(shè)BC=a，則CE=DF=a，EF=a，在Rt△QEC中，由勾股定理，得
QE=a，
∴FQ=a+a，
∴tan∠PQD==2-．
故選A．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，銳角三角函數(shù)的運用．解答時作出輔助線證明三角形全等是關(guān)鍵．