Question

已知拋物線F₁：y=x²-4x-1，拋物線F₂與F₁關(guān)于點C（1，0）成中心對稱，則在F₁與F₂圍成的封閉圖形上，平行于y軸的線段的長度最大值是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計算題

分析：先把y=x²-4x-1配成頂點式得到拋物線F₁的頂點坐標(biāo)為（2，-5），再求出點（2，-5）關(guān)于點C（1，0）的對稱點的坐標(biāo)為（0，5），于是根據(jù)頂點式寫出拋物線F₂的解析式為y=-x²+5，接著解方程組

y=(x-2)2-5 y=-x2+5

得F₁與F₂圍成的封閉圖形中點的橫坐標(biāo)的取值范圍為-1≤x≤3，求平行于y軸的線段的長度就是求橫坐標(biāo)相同的條件兩拋物線上的點的縱坐標(biāo)之差，所以在F₁與F₂圍成的封閉圖形上，平行于y軸的線段的長度l=-x²+5-[（x-2）²-5]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．

解答：解：∵y=x²-4x-1=（x-2）²-5，
∴拋物線F₁的頂點坐標(biāo)為（2，-5），
∵點（2，-5）關(guān)于點C（1，0）的對稱點的坐標(biāo)為（0，5），
∴拋物線F₂的解析式為y=-x²+5，
解方程組

y=(x-2)2-5 y=-x2+5

得

x=-1 y=6

或

x=3 y=14

，
∴F₁與F₂圍成的封閉圖形中點的橫坐標(biāo)的取值范圍為-1≤x≤3，
在F₁與F₂圍成的封閉圖形上，平行于y軸的線段的長度l=-x²+5-[（x-2）²-5]=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∵a=-2＜0，
∴當(dāng)x=1時，l有最大值8．
故答案為8．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．