Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，2），圖中的線段BD是由線段AC平移得到．

（1）線段AC經(jīng)過怎樣的平移可得到線段BD，所得四邊形是什么圖形，并求出所得的四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABDC}；
（2）在y軸上是否存在點P，連接PA，PB，使S_△PAB=S_{四邊形ABDC}？若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由；
（3）點P是線段BD上的一個動點，連接PC、PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合）給出下列結(jié)論：
①

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值不變；②

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不變，
其中有且只有一個是正確的，請你找出這個結(jié)論并求其值．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形的面積,坐標與圖形變化-平移

專題：

分析：（1）根據(jù)平移規(guī)律，向右平移四個單位，得到平行四邊形ABDC，根據(jù)：四邊形ABDC的面積=AB×OC求解；
（2）存在．設點P到AB的距離為h，則S_△PAB=

1

2

×AB×h，根據(jù)S_△PAB=S_{四邊形ABDC}，列方程求h的值，確定P點坐標；
（3）結(jié)論①正確，過P點作PE∥AB交OC與E點，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，故比值為1．

解答：解：（1）依題意向右平移四個單位，得到平行四邊形ABDC，根據(jù)平移規(guī)律，得到D（4，2），
∴S_{四邊形ABDC}=AB×OC=4×2=8；
（2）存在．
設點P到AB的距離為h，
S_△PAB=

1

2

×AB×h=2h，
由S_△PAB=S_{四邊形ABDC}，得2h=8，解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）；
（3）結(jié)論①正確，
過P點作PE∥AB交OC與E點，
∵AB∥PE∥CD，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值=1．

點評：本題考查了坐標與圖形平移的關(guān)系，坐標與平行四邊形性質(zhì)的關(guān)系，平行線的性質(zhì)及三角形、平行四邊形的面積公式．關(guān)鍵是理解平移規(guī)律，作平行線將相關(guān)角進行轉(zhuǎn)化．