Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C＝60°，M、N分別是AD、BC的中點，BC＝2CD.

(1)求證：四邊形MNCD是平行四邊形；

(2)求證：BD＝MN.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）要證明四邊形MNCD是平行四邊形，即要證明MD＝NC，MD∥NC，由四邊形ABCD是平行四邊形可得AD＝BC，AD∥BC，又因為M、N分別是AD、BC的中點，所以MD＝NC，MD∥NC；（2）連結ND，由四邊形MNCD是平行四邊形可得 MN＝DC，因為N是BC的中點，所以BN＝CN，結合BC＝2CD，∠C＝60°可以得出△NCD是等邊三角形，進而得出ND＝NC，∠DNC＝60°，由三角形外角的性質(zhì)可得∠NBD＋∠NDB＝∠DNC，

因為DN＝NC＝NB，所以∠DBN＝∠BDN＝∠DNC＝30°，所以∠BDC＝90°，最后結合tan∠DBC可證明DB＝MN.

試題解析：

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，

∵M、N分別是AD、BC的中點，∴MD＝NC，MD∥NC，

∴四邊形MNCD是平行四邊形；　

(2)連結ND，

∵四邊形MNCD是平行四邊形，∴MN＝DC，

∵N是BC的中點，∴BN＝CN，

∵BC＝2CD，∠C＝60°，∴△NCD是等邊三角形，∴ND＝NC，∠DNC＝60°，

∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD＋∠NDB＝∠DNC，

∵DN＝NC＝NB，∴∠DBN＝∠BDN＝∠DNC＝30°，∴∠BDC＝90°，

∵tan∠DBC＝tan30°＝＝，

∴DB＝DC＝MN.