Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠BAE交⊙O于C，過(guò)C作CD⊥AE，垂足為D．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為10，圓心O到AD的距離為4，求AE和ED的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）通過(guò)角平分線和有兩半徑為邊的三角形是等腰三角形可得到OC∥AD，再證明OC⊥CD．
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H．利用勾股定理求得AH=3，則由垂徑定理來(lái)求AE的長(zhǎng)度；通過(guò)△ADC∽△ACB的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AD的長(zhǎng)度，則DE=AD-AE．

解答：（1）證明：連OC，BC，如圖1，
∵AC平分∠BAE，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=3，
∴∠1=∠3，
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
又∵OC是圓O的半徑，
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：如圖2，連接OD、OC、BC．
由（1）知，OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，則四邊形DHOC是矩形，且OH═CD=4，AE=2AH．
∵⊙O的直徑AB為10，
∴OA=5，
∴在直角△AOH中，由勾股定理得到：AH=

AO2-OH2

=

52-42

=3，
∴AE=2AH=6．
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠DAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

AD

AC

=

AC

10

，則AC²=10AD．
又由勾股定理得到：AC²=AD²+CD²，
∴AD²-10AD+16=0．
解得 AD=8或AD=2（舍去），
故DE=AD-AE=8-6=2．
綜上所述，AE和ED的長(zhǎng)度分別是6、2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，證明切線的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線段垂直的問(wèn)題．要學(xué)會(huì)充分利用特殊角進(jìn)行角度計(jì)算，確定邊之間的數(shù)量．