Question

如圖，已知拋物線y=+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE⊥x軸于點(diǎn)D，連接DC，當(dāng)△DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由于拋物線經(jīng)過A（2，0），C（0，-1），
則有：，
解得；
∴拋物線的解析式為：y=-x-1．

（2）∵A（2，0），C（0，-1），
∴直線AC：y=x-1；
設(shè)D（x，0），則E（x，x-1），
故DE=0-（x-1）=1-x；
∴△DCE的面積：S=DE×|x_D|=×（1-x）×x=-x²+x=-（x-1）²+，
因此當(dāng)x=1，
即D（1，0）時(shí)，△DCE的面積最大，且最大值為．

（3）由（1）的拋物線解析式易知：B（-1，0），
可求得直線BC的解析式為：y=-x-1；
設(shè)P（x，-x-1），因?yàn)锳（2，0），C（0，-1），則有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①當(dāng)AP=CP時(shí)，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
∴P₁（2.5，-3.5）；
②當(dāng)AP=AC時(shí)，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，
∴P₂（1，-2）；
③當(dāng)CP=AC時(shí)，CP²=AC²，有：
2x²=5，解得x=±，
∴P₃（，--1），P₄（-，-1）；
綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（2.5，-3.5）、P₂（1，-2）、P₃（，--1）、P₄（-，-1）．
分析：（1）由于拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此只需將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式，可設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AC的解析式可表示出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得到DE的長(zhǎng)，以DE為底，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為高即可得到△CDE的面積，從而得到關(guān)于△CDE的面積與D點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△CDE的面積最大值及對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線的解析式，可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而能得到直線BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線BC的解析式表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出△ACP三邊的長(zhǎng)，從而根據(jù)：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三種不同等量關(guān)系求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度較大．