Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的斜邊OB在x軸的正半軸上，點A在第一象限，將△OAB，使點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△OA′B′，使點A的對應點A′落在y軸的正半軸上，已知OB=2，∠AOB=30°．
（1）求點A和點B′的坐標；
（2）判斷點B、B′、A是否在同一直線上并說明理由．
（3）點M在坐標平面內(nèi)，若△MOB與△AOB全等，畫出圖形并直接寫出點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥OB垂足為D，利用面積法求出AD，即可寫出A點，B′點坐標．
（2）根據(jù)待定系數(shù)法可以求出直線AB的解析式，至于點B′是否在直線AB上只需把點代入所求解析式，判斷是否符合即可．
（3）如圖滿足條件的點M有三個，由（1）即可寫出坐標．

解答 解：（1）如圖作AD⊥OB垂足為D，
在RT△ABO中，∵OB=2，∠AOB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$OB=1，AO=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•OB•AD=$\frac{1}{2}$•AO•AB，
∴$\frac{1}{2}$•2•AD=$\frac{1}{2}$$•1•\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\sqrt{3}$AD=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B′（1，$\sqrt{3}$）．
（2）設(shè)直線AB為y=kx+b，∵經(jīng)過A（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB為y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
當x=1時，y=-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴點B′在直線AB上，故B、B′、A在同一直線上．
（3）滿足條件的點M有三個，如圖所示．
M₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），M₂（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），M₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點評 本題考查解直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一次函數(shù)等知識，學會利用一次函數(shù)解決共線問題，第三個問題一題多解，注意考慮問題的全面性．