Question

如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠A=∠B=30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)（D不與A、B重合），連接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于點(diǎn)E．
（1）AB=

2

3

；
（2）當(dāng)AD等于多少時(shí)，△ADC≌△BED，請(qǐng)說明理由；
（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△CDE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求出∠ADC的度數(shù)；若不可以，說明理由．

Answer 1

分析：（1）過C作CM⊥AB于M，求出CM，根據(jù)勾股定理求出AM，代入AB=2AM求出即可．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定得出BD=AC，求出BD，即可求出答案．
（3）分為兩種情況：①DC=DE，②CE=DE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出即可．

解答：解：（1）
過C作CM⊥AB于M，
∵AC=BC，
∴AB=2AM，∠AMC=90°，
∵AC=2，
∠A=30°，
∴CM=

1

2

AC=1，由勾股定理得：AM=

22-12

=

3

，
∴AB=2AM=2

3

，
故答案為：2

3

．

（2）當(dāng)AD等于2

3

-2時(shí)，△ADC≌△BED，
理由是：∵∠A=∠CDE=∠B=30°，
∴∠ACD+∠ADC=150°，∠ADC+∠EDB=150°，
∴∠ACD=∠EDB，
∴當(dāng)AC=BD時(shí)△ADC≌△BED，
即BD=AC=2，
∴AD=AB-BD=2

3

-2，
即當(dāng)AD=2

3

-2時(shí)，△ADC≌△BED．

（3）△CDE的形狀可以是等腰三角形，∠AED的度數(shù)為105°或60°，
理由是：∵∠B=30°，
∴∠CED＞30°，
即分為兩種情況：①CD=DE，
∵∠CDE=30°，
∴∠DCE=∠DEC=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠EDB=∠CED-∠B=45°，
∴∠ADC=180°-30°-45°=105°；
②DE=CE，
∵∠CDE=30°，
∴∠ECD=∠CDE=30°，
∴∠CED=180°-30°-30°=120°，
∴∠EDC=∠CED-∠B=120°-30°=90°，
∴∠ADC=180°-30°-90°=60°；
即在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△CDE的形狀可以是等腰三角形，∠ADC的度數(shù)是105°或60°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、外角的性質(zhì)，關(guān)鍵在于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練地運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，認(rèn)真地進(jìn)行計(jì)算．