Question

（1）將l，2，…，2004這2004個(gè)數(shù)隨意排成一行，得到一個(gè)數(shù)N．求證：N一定是合數(shù)；
（2）若n是大于2的正整數(shù)，求證：2ⁿ-1與2ⁿ+1中至多有一個(gè)是質(zhì)數(shù)．

Answer 1

（1）從1到999來(lái)看這999個(gè)數(shù)，不管怎么排列，都可以把百位十位和各位的數(shù)，按照九個(gè)九個(gè)的分組，個(gè)位上1到9，分到一組，十位上1到9分到一組，百位上1到9分一組，都是剛好分成九個(gè)一組的，每組加起來(lái)都是45，再有4+5=9，這999個(gè)數(shù)的各位數(shù)字的和能被9整除．
同理，從1000到1999，我們不看千位上的1，百位以后和上面分析的一樣，每個(gè)數(shù)的每一位加起來(lái)最終能被9整除．但是這里千位上多了1000個(gè)1，再看2000到2004這5個(gè)數(shù)，這5個(gè)數(shù)有5個(gè)2，然后從0到4有5個(gè)數(shù)，我們可以不看0．于是2+2+2+2+2+1+2+3+4=20，加上1000到1999千位上的一千個(gè)1，就是1020，這個(gè)數(shù)可以也被3整除．
也就是說(shuō)，1到2004，所有數(shù)字隨便排在一起，每個(gè)位子上的數(shù)加起來(lái)的總和可以被3整除，即含有3這個(gè)因數(shù)，故N一定是合數(shù)；
（2）假設(shè)2ⁿ-1與2ⁿ+1均是質(zhì)數(shù)，則（2ⁿ-1）（2ⁿ+1）一定為合數(shù)，即4ⁿ-1一定為合數(shù)，當(dāng)n=3時(shí)4ⁿ-1=63，而63是質(zhì)數(shù)，假設(shè)不成立，
故2ⁿ-1與2ⁿ+1中至多有一個(gè)是質(zhì)數(shù)．