Question

如圖，拋物線y=ax²+2ax（a＜0）位于x軸上方的圖象記為F₁，它與x軸交于P₁、O兩點，圖象F₂與F₁關(guān)于原點O對稱，F(xiàn)₂與x軸的另一個交點為P₂，將F₁與F₂同時沿x軸向右平移P₁P₂的長度即可得到F₃與F₄；再將F₃與F₄同時沿x軸向右平移P₁P₂的長度即可得到F₅與F₆；…；按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n．我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”．
（1）當a=-1時，①求圖象F₁的頂點坐標；②點H（2014，-3）

 

（填“在”或“不在”）該“波浪拋物線”上；若圖象F_n的頂點T_n的橫坐標為201，則圖象F_n對應(yīng)的解析式為

 

，其自變量x的取值范圍為

 

．
（2）設(shè)圖象F_n、F_n+1的頂點分別為T_n、T_n+1（n為正整數(shù)），x軸上一點Q的坐標為（12，0）．試探究：當a為何值時，以O(shè)、T_n、T_n+1、Q四點為頂點的四邊形為矩形？并直接寫出此時n的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①直接把a=-1代入拋物線的解析式即可得出結(jié)論；
②根據(jù)該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和-1即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)OQ中點為O′，則線段T_nT_n+1經(jīng)過O′，再根據(jù)圖形平移的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）當a=-1時，①y=ax²+2ax=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∴圖象F₁的頂點坐標為：（-1，1）；
②∵該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和-1，
∴點H（2014，-3），不在該“波浪拋物線”上，
∵圖象F_n的頂點T_n的橫坐標為201，
201÷4=50…1，故其圖象與F₂，F(xiàn)₄…形狀相同，
則圖象F_n對應(yīng)的解析式為：y=（x-201）²-1，
其自變量x的取值范圍為：200≤x≤202．
故答案為：不在，y=（x-201）²-1，200≤x≤202．

（2）設(shè)OQ中點為O′，則線段T_nT_n+1經(jīng)過O′，
由題意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′T_n+1，
∴當T_nT_n+1=OQ=12時，四邊形OT_nT_n+1Q為矩形，
∴O′T_n+1=6，
∵F₁對應(yīng)的解析式為y=a（x+1）²-a，
∴F₁的頂點坐標為（-1，-a），
∴由平移的性質(zhì)可知，點T_n+1的縱坐標為-a，
∴由勾股定理得（-a）²+1²=6²，
∴a=±

35

，
∵a＜0，
∴a=-

35

，故此時n的值為4．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，熟知二次函數(shù)平移的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題是解答此題的關(guān)鍵．