Question

【題目】以菱形ABCD的對角線交點O為坐標原點，AC所在的直線為x軸，已知A（﹣4，0），B（0，﹣2），M（0，4），P為折線BCD上一動點，作PE⊥y軸于點E，設點P的縱坐標為a．

（1）求BC邊所在直線的解析式；
（2）設y=MP2+OP2 ， 求y關于a的函數(shù)關系式；
（3）當△OPM為直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣4，0），B（0，﹣2），

∴OA=4，OB=2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴OC=OA=4，OD=OB=2，

∴C（4，0），D（0，2），

設直線BC的解析式為y=kx﹣2，

∴4k﹣2=0，

∴k= ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣2；

（2）

解：由（1）知，C（4，0），D（0，2），

∴直線CD的解析式為y=﹣ x+2，

由（1）知，直線BC的解析式為y= x﹣2，

當點P在邊BC上時，

設P（2a+4，a）（﹣2≤a＜0），

∵M（0，4），

∴y=MP2+OP2=（2a+4）2+（a﹣4）2+（2a+4）2+a2=2（2a+4）2+（a﹣4）2+a2=10a2+24a+48

當點P在邊CD上時，

∵點P的縱坐標為a，

∴P（4﹣2a，a）（0≤a≤2），

∵M（0，4），

∴y=MP2+OP2=（4﹣2a）2+（a﹣4）2+（4﹣2a）2+a2=10a2﹣40a+48，

（3）

解：①當點P在邊BC上時，即：0≤a≤2，

由（2）知，P（2a+4，a），

∵M（0，4），

∴OP2=（2a+4）2+a2=5a2+16a+16，PM2=（2a+4）2+（a﹣4）2=5a2+8a+32，OM2=16，

∵△POM是直角三角形，易知，PM最大，

∴OP2+OM2=PM2，

∴5a2+16a+16+16=5a2+8a+32，

∴a=0（舍）

②當點P在邊CD上時，即：0≤a≤2時，

由（2）知，P（4﹣2a，a），

∵M（0，4），

∴OP2=（4﹣2a）2+a2=5a2﹣16a+16，PM2=（4﹣2a）2+（a﹣4）2=5a2﹣24a+32，OM2=16，

∵△POM是直角三角形，

(i)當∠POM=90°時，

∴OP2+OM2=PM2，

∴5a2﹣16a+16+16=5a2﹣24a+32，

∴a=0，

∴P（4，0），

(ii)當∠MPO=90°時，OP2+PM2=5a2﹣16a+16+5a2﹣24a+32=10a2﹣40a+48=OM2=16，

∴a=2+ （舍）或a=2﹣ ，

∴P（ ，2﹣ ），

即：當△OPM為直角三角形時，點P的坐標為（ ，2﹣ ），（4，0）．

【解析】（1）先確定出OA=4，OB=2，再利用菱形的性質(zhì)得出OC=4，OD=2，最后用待定系數(shù)法即可確定出直線BC解析式；
（2）分兩種情況，先表示出點P的坐標，利用兩點間的距離公式即可得出函數(shù)關系式；
（3）分兩種情況，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出點P的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法．