Question

已拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB=2，對(duì)稱軸為x=2，與y軸交于點(diǎn)C，其中C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A、點(diǎn)B），如圖；當(dāng)S_△PBC=S_△ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)D（3.5，-1.5），點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)CQ平分四邊形OBDC的面積時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，作拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)E，由拋物線的對(duì)稱性就可以得出AE=BE，由對(duì)稱軸就可以得出E的坐標(biāo)，進(jìn)而求出A、B的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論；
（2）如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接BD，CD，就可以得出AB=BD，CD=AC，設(shè)D（x，y），由兩點(diǎn)間的距離公式建立方程組求出D的坐標(biāo)，作m∥BC交拋物線于點(diǎn)P，先由待定系數(shù)法求出m的解析式，再由拋物線的解析式與m的解析式購(gòu)成方程組求出其解就可以求出P的坐標(biāo)；
（3）連結(jié)CD、BD，作DG⊥x軸于點(diǎn)G，就可以求出四邊形OGDC的面積，就可以求出一半的值，設(shè)CQ交x軸于點(diǎn)F，設(shè)F（a，0），由待定系數(shù)法就可以求出CF的解析式，再由直線CF的解析式與拋物線的解析式構(gòu)成方程組求出其解就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，作拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)E，
∴AE=BE=

1

2

AB，E（2，0），
∴OE=2．
∵AB=2，
∴AE=BE=1．
∴OA=1，OB=3
∴A（1，0），B（3，0）．
∴

0=a+b+c 0=9a+3b+c -3=c

，
解得：

a=-1 b=4 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3；
（2）如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接BD，CD，
∴△ABC≌△DBC，
∴AB=DB，AC=DC．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=

10

．
∴CD=

10

．
∵AB=2，
∴DB=2．
設(shè)D（x，y），由兩點(diǎn)間的距離公式，得

(3-x)2+(0-y)2=BD2 (0-x)2+(-3-y)2=CD2

，
∴

(3-x)2+(0-y)2=4 (0-x)2+(-3-y)2=10

，
解得：

x=3 y=-2

，
∴D（3，-2）．
作m∥BC交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由題意，得

0=3k+b -3=b

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
設(shè)直線m的解析式為y=x+d，由題意，得
-2=3+d，
∴d=-5，
∴y=x-5，
∴

y=x-5 y=-x2+4x-3

，
解得：

x1= 3+ 17 2 y1= -7+ 17 2

，

x2= 3- 17 2 y2= -7- 17 2

，
∴P₁（

3+ 17

2

，

-7+ 17

2

）或P₂（

3- 17

2

，

-7- 17

2

）；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上方，過點(diǎn)A∥BC的直線的將誒相似為y=x-1，
∴

y=x-1 y=-x2+4x-3

，
解得：

x3=1 y3=0

，

x4=2 y4=1

，
∴P₃=（2，1）．
∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₃=（2，1），P₁（

3+ 17

2

，

-7+ 17

2

）或P₂（

3- 17

2

，

-7- 17

2

）；
（3）如圖3，連結(jié)CD、BD，作DG⊥x軸于點(diǎn)G，
∴∠OGD=90°．
∵D（3.5，-1.5），
∴OG=3.5，DG=1.5，
∴BG=0.5．
∴S_{四邊形OBDC}=S_梯形OGDC-S_△BGD
∴S_{四邊形OBDC}=

(1.5+3)×3.5

2

-

0.5×1.5

2

=

15

2

，
∴

1

2

S_{四邊形OBDC}=

15

4

設(shè)CQ交x軸于點(diǎn)F，設(shè)F（a，0），
∴S_△OCF=

15

4

，
∴

3a

2

=

15

4

，
∴a=

5

2

．
∴F（

5

2

，0）．
設(shè)CF的解析式為y=kx+b，由題意，得

-3=b 0=2.5k+b

，
解得：

k= 6 5 6=-3

，
∴y=

6

5

x-3，
∴

y= 6 5 x-3 y=-x2+4x-3

，
解得：

x1=0 y1=-3

，

x2= 14 5 y2= 9 25

，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

14

5

，

9

25

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，拋物線的性質(zhì)的運(yùn)用，二元二次方程組的解法的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．