Question

13．已知關(guān)于x的一元二次方程（a-c）x²-2bx+（a+c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的定義，把x=1代入即可得出△ABC的形狀；
（2）根據(jù)根的判別式得出b²-4ac=0，即可得出a，b，c的關(guān)系，即可根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀．

解答 解：（1）∵x=1是一元二次方程（a-c）x²-2bx+（a+c）=0的根，
∴（a-c）-2b+（a+c）=0，
∴a=b，
∵a-c≠0，
∴a≠c，
∴△ABC為等腰三角形；
（2）∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴b²-4ac=0，
即4b²-4（a+c）（a-c）=0，
∴b²+c²=a²，
∴△ABC為直角三角形．

點評 本題考查了根的判別式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握各個定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．