Question

17．如圖，四邊形ABCD，AB=CD，E，F(xiàn)分別為AD，BC邊中點，PE⊥AD，PF⊥BC，連接PB，PD，求證：∠BPF=∠DPE．

Answer 1

分析 注意到PE、PF是中垂線，于是連接PA、PC，從而PA=PD，PB=PC，加上AB=CD的條件，可以證明三角形PBA與三角形PCD全等，可得∠BPA=∠CPD，進而可得∠BPC=∠APD，其一半自然相等，即∠BPF=∠DPE，結(jié)論得證．

解答 證明：如圖，連接PA、PC，

∵PE⊥AD，E為AD中點，
∴PA=PD，∠APE=∠DPE，
同理PB=PC，∠BPF=∠CPF，
在△BPA與△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CP}\\{AP=DP}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△CPD（SAS），
∴∠BPA=∠CPD，
∴∠BPC=∠APD，
∴∠BPF=∠DPE．

點評 本題主要考查的等腰三角形“三線合一”的應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)，難度中等．識別出PE、PF是中垂線是解決本題的關(guān)鍵．