Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，∠ABC的角平分線交AD于E，EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，你能猜想出線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系嗎？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：延長FE交AB于G．作GH∥AC交BC于H．連接EH，得出四邊形FGHC為平行四邊形，得出GH=CF．∠FCD=∠EGH，進(jìn)而求得∠HGF=∠BAD，得出∠BGH=90°，根據(jù)，∠ABC的角平分線交AD于E，EF∥BC，得出GE=GB，∠AGE=∠ABD，最后通過△AGE≌△DBG求得結(jié)論．

解答：解：AE=CF，
理由：延長FE交AB于G．作GH∥AC交BC于H．連接EH，
∵EF∥BC，
∴FG∥BC．
∴四邊形FGHC為平行四邊形，
∴GH=CF．∠FCD=∠EGH，
∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，
∴∠ACB=∠BAD，
∴∠EGH=∠BAD，
∵FG∥BC．AD⊥BC，
∴∠AEG=90°，
∴∠BAD+∠AGE=90°，
∴∠EGH+∠AGE=90°，
即∠AGH=90°，
∵GF∥BC，
∴∠GED=∠EBD，∠AGE=∠ABD，
∵∠GBE=∠EBD，
∴∠GBE=∠GEB，
∴GE=GB，
在△AGE和△DBG中

∠AGE=∠B ∠AEG=∠ADB=90° GE=GB

∴△AGE≌△DBG（AAS），
∴GH=AE，
∴AE=CF．

點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建平行四邊形是本題的關(guān)鍵．