Question

當(dāng)m的取值在什么范圍內(nèi)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx²-4x+5=0與x²-4mx+4m²-3m-3=0有實(shí)數(shù)根．是否存在整數(shù)m，使得方程的根也為整數(shù)？若存在，請(qǐng)求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：

分析：先由關(guān)于x的一元二次方程mx²-4x+5=0與x²-4mx+4m²-3m-3=0有實(shí)數(shù)根，得出

m≠0 16-20m≥0 16m2-4(4m2-3m-3)≥0

，解不等式組得到-1≤m≤

4

5

且m≠0，即當(dāng)-1≤m≤

4

5

且m≠0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx²-4x+5=0與x²-4mx+4m²-3m-3=0有實(shí)數(shù)根．假設(shè)存在整數(shù)m，使得方程的根也為整數(shù)，那么m=-1．將m=-1分別代入方程mx²-4x+5=0與x²-4mx+4m²-3m-3=0，求出這兩個(gè)方程的解即可判斷．

解答：解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx²-4x+5=0與x²-4mx+4m²-3m-3=0有實(shí)數(shù)根，
∴

m≠0 16-20m≥0 16m2-4(4m2-3m-3)≥0

，
解得-1≤m≤

4

5

且m≠0，
即當(dāng)-1≤m≤

4

5

且m≠0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx²-4x+5=0與x²-4mx+4m²-3m-3=0有實(shí)數(shù)根．
如果存在整數(shù)m，使得方程的根也為整數(shù)，那么m=-1．
當(dāng)m=-1時(shí)，方程mx²-4x+5=0即為-x²-4x+5=0，
解得x₁=-5，x₂=1，符合題意；
當(dāng)m=-1時(shí)，方程x²-4mx+4m²-3m-3=0即為x²+4x+4=0，
解得x₁=x₂=-2，符合題意；
故存在整數(shù)m=-1，使得方程的根也為整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac的關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了一元二次方程的定義及解法．