Question

使得

p(p+1)+2

2

是完全平方數(shù)的所有質數(shù)p為______．

Answer 1

設

p(p+1)+2

2

=a²，
所以p（p+1）=2a²-2=2（a+1）（a-1），
因為p為質數(shù)，所以①p=a-1或者②p=a+1或者③p=2，
①當p=a-1時，設a-1=kp，（k為≥1的正整數(shù)）所以a=kp+1，
所以p（p+1）=2kp（kp+2），
所以p+1=2k（kp+2），
所以（2k²-1）p=1-4k，
因為（2k²-1）＞0，所以（2k²-1）p，
又因為1-4k＜0，
所以（2k²-1）p=1-4k不可能成立．
②當p=a+1時，設a+1=kp，（k為≥1的正整數(shù)）所以a=kp-1．
所以p（p+1）=2kp（kp-2），
所以p+1=2k（kp-2），
所以（2k²-1）p=1+4k，
所以2k²-1＜1+4k．
因為當k≥3時，2k²-1≥6k-1=4k+1+2（k-1）＞1+4k
所以k=1或者2，
當k=1時，（2k²-1）p=1+4k≥p=5，
當k=2時，（2k²-1）p=1+4k≥7p=9，所以不存在質數(shù)p．
③當p=2時，因為p是質數(shù)．
所以p=2，
綜上所述，p=2或者p=5，
驗算：
當p=2時，

p(p+1)+2

2

=4=2²
當p=5時，

p(p+1)+2

2

=16=4²．
故答案為2或5．